Cyrkiel i węgielnica – trochę geometrii

Historia problemu

Pytanie o to, jakie figury można skonstruować za pomocą cyrkla i linijki, było znane już przeszło 2300 lat temu. Występuje wielokrotnie w „Elementach” Euklidesa, pierwszym w historii traktacie matematycznym spełniającym wymogi dzisiejszej nauki. Dla uściślenia – narzędziami mogą być cyrkiel oraz jednostronna linijka bez podziałki. Konstrukcje muszą być dokładne, to znaczy niezależne od precyzji (dziś powiedzielibyśmy rozdzielczości) użytych narzędzi. Jest to oczywiście pewna idealizacja, punkt czy linia, które możemy wykreślić jakimkolwiek narzędziem, mają zawsze jakieś rozmiary, ale idealizacja występuje w całej matematyce i wychodziło jej to zazwyczaj na dobre. Matematycy greccy podali sposoby wykonania wielu konstrukcji, natrafili jednak na kilka problemów, których nie potrafili rozwiązać. Najbardziej znanymi z nich były: trysekcja kąta, to jest podział dowolnego kąta na trzy równe części, podwojenie sześcianu czyli skonstruowanie krawędzi sześcianu o objętości dwukrotnie większej od danego sześcianu a także kwadratura koła, polegająca na skonstruowaniu kwadratu o polu powierzchni równym polu danego koła. Pomimo wielu wysiłków największych matematyków nikomu nie udało się znaleźć rozwiązania żadnego z tych problemów, jak również mniej dziś znanych konstrukcji (np. siedmiokąta foremnego). Zaczęto rozważać poszerzenie zestawu dopuszczalnych narzędzi, dodając do cyrkla i linijki różne mniej lub bardziej skomplikowane przyrządy, lub też przyjmując, że na płaszczyźnie jest wstępnie dana jakaś pomocnicza krzywa, co było równoważne ( jest bez znaczenia, czy mamy przyrząd pozwalający jakąś krzywą narysować, czy ta krzywa już jest na płaszczyźnie narysowana). Takimi krzywymi są m.in. konchoida Nikomedesa, cisoida Dioklesa, kwadratrysa Hippiasza z Elidy. Niektóre z tych przyrządów były stosunkowo proste, na przykład Archimedes dowiódł, że podział kąta na trzy równe części jest wykonalny, jeśli użyjemy cyrkla i linijki, na której są zaznaczone dwa punkty. To poszerzenie dopuszczalnych metod pozwoliło na rozwiązanie postawionych problemów, jednak zadanie konstrukcji za pomocą samego cyrkla i linijki pozostało otwarte aż do XIX wieku.

Linijka a węgielnica

Nie wspominałem dotąd o węgielnicy, zrobię to teraz. Jest jasne, że jeśli jakąś konstrukcję można wykonać za pomocą cyrkla i linijki, można ją zrobić też przy użyciu cyrkla i węgielnicy, wystarczy korzystać z jednego z jej ramion jako z linijki. Mniej oczywista jest zależność odwrotna – można dowieść, że każdą konstrukcję wykonalną cyrklem i węgielnicą można też wykonać cyrklem i linijką. Jedyna różnica leży w prostocie konstrukcji. Węgielnica dostarcza kąta prostego natychmiast, mając cyrkiel i linijkę trzeba jednak wykonać kilka ruchów. Tak więc zestaw wykonalnych konstrukcji jest ten sam, węgielnica pozwala jednak na większą prostotę samej konstrukcji. Można jeszcze dodać, że węgielnica (sama!) pozwala określić, mając dany jakiś punkt, czy ten punkt należy do okręgu, którego promień i środek jest dany. W tym sensie jest nieco skuteczniejsza od linijki. Ponieważ główną kwestią, którą się zajmuję jest wykonalność konstrukcji a nie ich prostota, w dalszym ciągu można myśleć o linijce i węgielnicy zamiennie.

Ograniczenie liczby narzędzi

Nie mogąc rozwiązać wymienionych wyżej problemów starożytnych Greków matematycy zajęli się pokrewnym zagadnieniem: które konstrukcje geometryczne dadzą się wykonać przy użyciu samego cyrkla lub samej linijki. Na pierwszy rzut oka problem wydaje się źle postawiony – przecież linijką nie można wytyczyć łuku okręgu, tak samo jak cyrklem nie da się wykreślić odcinka! Jeśli jednak umówimy się, że linia jest dana, jeśli potrafimy skonstruować jej dwa punkty, a okrąg jest dany, gdy umiemy skonstruować jego środek oraz promień, a także potrafimy skonstruować wszystkie punkty przecięć prostych i okręgów, które uzyskalibyśmy wykonując konstrukcję w sposób klasyczny, problem nabiera sensu.
Prawdziwe jest mianowicie następujące twierdzenie Mohra – Mascheroniego orzekające, że każdą konstrukcję wykonywalną za pomocą cyrkla i linijki da się wykonać za pomocą samego cyrkla. Twierdzenie to ma dość ciekawą historię, zostało udowodnione przez Mascheroniego w roku 1797, jednak dopiero w roku 1928 zauważono przeglądając stare podręczniki, że zostało ono udowodnione znacznie wcześniej, bo w roku 1672 przez duńskiego matematyka Mohra. Konstrukcjami za pomocą samego cyrkla a także za pomocą innych zestawów przyrządów (cyrkiel i linijka dwustronna, cyrkiel i ekierka itp.) zajmował się także około roku 1890 austrowęgierski matematyk August Adler.
Stosunkowo łatwo można udowodnić, że zestaw konstrukcji wykonywalnych za pomocą samej linijki jest istotnie uboższy. Jednak w roku 1833 znany szwajcarski matematyk Jacob Steiner udowodnił, że cyrkla wystarczy użyć tylko raz. Jeśli na płaszczyźnie jest dany okrąg wraz z jego środkiem, to posługując się samą linijką można wykonać wszystkie konstrukcje wykonywalne cyrklem i linijką (lub jak kto woli cyrklem i węgielnicą). Tak więc bez cyrkla ani rusz. Jest silniejszy od węgielnicy!

Wiek XIX – ostateczne rozwiązanie problemu

Wrócę teraz do klasycznych problemów starożytnych Greków. Po dwóch tysiącleciach daremnych poszukiwań rozwiązania matematycy nabrali podejrzeń, że te problemy mogą być nierozwiązywalne. Jednak jak udowodnić niewykonalność konstrukcji geometrycznej? Zawsze można powiedzieć, że być może rozwiązanie istnieje, jednak jest na tyle skomplikowane, że wciąż czeka na swojego odkrywcę. Z pomocą przyszło przetłumaczenie problemu z języka geometrii na język algebry. Wprowadzono pojęcie liczby konstruowalnej. Liczba x jest konstruowalna, jeśli mając do dyspozycji odcinek o długości 1 można za pomocą cyrkla i linijki skonstruować odcinek o długości x. Udowodniono, że jeśli liczba jest konstruowalna, to musi być rozwiązaniem równania, którego stopień jest potęgą liczby 2 (tj. 1,2,4,8,16 itd.). Z tego faktu natychmiast wynikała niewykonalność podwojenia sześcianu, krótko potem w roku 1837 Wantzel (opierając się na fundamentalnych odkryciach Abela) dowiódł niewykonalności trysekcji kąta. W obu tych przypadkach należałoby skonstruować odcinek, którego długość jest rozwiązaniem równania stopnia trzeciego, a trzy nie jest potęgą dwójki! W podobny sposób Gauss i Wantzel znaleźli warunek rozstrzygający, które wielokąty dadzą się skonstruować cyrklem i linijką, metoda była rozwinięciem młodzieńczego odkrycia Gaussa, który dowiódł, że można skonstruować siedemnastokąt foremny – uważał to za jedno ze swoich pierwszych wielkich odkryć. Z ich kryterium wynikało, że również siedmiokąta foremnego nie da się skonstruować. Pozostał ostatni problem – kwadratura koła. Problem sprowadzał się do tego, czy liczba π jest konstruowalna, czy nie. Odpowiedzi na to pytanie udzielił Lindemann w roku 1882 dowodząc, że liczba π jest przestępna, to znaczy, że nie jest rozwiązaniem żadnego równania algebraicznego jakiegokolwiek stopnia! W ten sposób rozwiązano ostatni z wielkich problemów starożytnych matematyków greckich. Problem kwadratury koła jest światowym rekordem hipotezy matematycznej, która czekała na rozwiązanie przeszło 2000 lat!

Krzysztof S. – Loża Galileusz