Matematyka

Deska wygłoszona 10.10.6015 w Loży Galileusz na Wschodzie Bydgoszczy.

Mam mówić o matematyce. Zadanie trudne, raz ze względu na ogrom tej dyscypliny, ponadto wiele ważnych jej odkryć wyraża się na tyle hermetycznym językiem, że każde z nich wymagałoby wielogodzinnego wykładu wstępnego, a przecież większość z nas nie jest matematykami. Skoncentruję się więc na kilku „kamieniach milowych”, wybierając te, które miały wpływ nie tylko na samą matematykę, ale także zmieniły sposób myślenia ludzi i ich patrzenia na otaczającą rzeczywistość. Wśród omawianych „kamieni milowych” będą także i te, które zafascynowały mnie na tyle, że postanowiłem poświęcić się matematyce.
Zacznę od matematyki greckiej.
Pierwszym dziełem w historii traktującym matematykę (zwłaszcza geometrię) jako system aksjomatyczny były napisane 2300 lat temu „Elementy” Euklidesa. Ponieważ metoda aksjomatyczna w matematyce jest stosowana do dziś, przyjrzymy się jej nieco dokładniej. W XX wieku odkryto pewne jej niedoskonałości, ale można zaryzykować tu porównanie z demokracją: ma pewne wady, ale niczego lepszego dotąd nie wymyślono.
Istota metody aksjomatycznej polega w skrócie na tym, że fakty matematyczne tj. twierdzenia wyprowadza się z prostszych twierdzeń, te z jeszcze prostszych itd. Zachodzi naturalne pytanie, czy można się w ten sposób cofać nieograniczenie? Odpowiedź na to pytanie jest negatywna. Wymienię dwie główne przyczyny tego stanu rzeczy.
Jedna to taka, że wyprowadzając bardziej złożone fakty z prostszych, te z jeszcze prostszych itd. dochodzimy w pewnym momencie do faktów na tyle prostych, że trudno znaleźć jeszcze prostsze fakty, z których dałoby się je wyprowadzić. Druga przyczyna, może nawet ważniejsza jest taka, że jeśli dopuścimy możliwość nieograniczonego cofania się, to wyprowadzenie jakiegoś twierdzenia może składać się z nieskończonej ilości poprzedzających je wyprowadzeń. Z tego wynikałaby nieskończona długość dowodu, co jest niemożliwe. Dowód może być długi, ale musi się kiedyś skończyć.
Tak więc musi istnieć jakaś bariera, poza którą nie będziemy się cofać. Robi się to tak:
Przyjmujemy pewną niewielką liczbę pojęć, których nie definiujemy, są to tak zwane pojęcia pierwotne danej teorii. W geometrii może być to pojęcie punktu, prostej itp. W teorii zbiorów może to być pojęcie zbioru, elementu zbioru, należenia elementu do zbioru.
Przyjmujemy pewną, też zazwyczaj niewielką, liczbę własności, które muszą spełniać pojęcia pierwotne. Nazywamy je aksjomatami danej teorii. W geometrii można na przykład przyjąć jako aksjomat, że każda prosta zawiera co najmniej dwa punkty, że dwie różne proste mogą mieć co najwyżej jeden punkt wspólny itp.
Przy doborze pojęć pierwotnych i aksjomatów staramy się, by były one oczywiste. Ta sama teoria może mieć różne układy pojęć pierwotnych i aksjomatów, możemy przekonać się o tym na przykład przeglądając różne podręczniki geometrii.
Musimy ustalić także dopuszczalne reguły wnioskowania, które będzie nam wolno stosować przy dowodzeniu twierdzeń.
Przejdę teraz do następnego „kamienia milowego”. Dotyczy on geometrii nieeuklidesowych. Euklides wyprowadził geometrię z kilku aksjomatów, z których jeden budził od początku wątpliwości. Był to aksjomat o równoległych. Orzeka on, że jeśli mamy daną prostą i punkt poza tą prostą, to przez ten punkt można przeprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do danej prostej. Wątpliwości te okazały się uzasadnione. Około roku 1825 Janos Bolyai i Nikołaj Łobaczewski niezależnie od siebie udowodnili, że ten aksjomat jest niezależny od pozostałych, czyli można zamiast niego przyjąć jego zaprzeczenie. Otrzymujemy wtedy inną geometrię, w której jest wiele prostych równoległych przechodzących przez dany punkt! Wielu ówczesnych matematyków nie mogło się pogodzić z tym, że mogą istnieć różne geometrie. Bez nich nie mogłaby jednak powstać np. odkryta w roku 1915 przez Einsteina ogólna teoria względności a bez niej nie działałyby odbiorniki GPS.
Następnym odkryciem, które wywołało przewrót myślowy nie tylko w matematyce, lecz także w filozofii i logice, było stworzenie przez G. Cantora w latach 70-tych i 80-tych XIX wieku ogólnej teorii zbiorów nieskończonych oraz dokładna analiza tego pojęcia. Pojęcie nieskończoności fascynowało już matematyków starożytnych – Zenona z Elei, a także Euklidesa, który dowiódł, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Poprzednikiem Cantora był czeski matematyk Bernard Bolzano – jego wydana pośmiertnie w 1851 roku książka „Paradoksy nieskończoności” zawierała podstawowe idee, które później rozwinął Cantor. Fundamentem prac Cantora było odkrycie, że istnieją różne stopnie nieskończoności i że hierarchia tych stopni jest też nieskończona. W szczególności dowiódł on, że mając dany jakiś zbiór nieskończony można skonstruować zbiór o wyższym stopniu nieskończoności. Wystarczy więc „wystartować” z najprostszego zbioru nieskończonego – zbioru liczb naturalnych i można wychodząc z niego skonstruować całą matematykę. Jego pionierskie idee spotkały się z początku z krytyką dużej części środowiska matematycznego, między innymi sławnego L. Kroneckera, co było przyczyną depresji, z której Cantor nie wydobył się już do końca życia. Na początku XX wieku okazało się jednak, że stworzone przez Cantora podejście do teorii zbiorów stało się potężnym bodźcem do rozwoju większości działów matematyki. Dobitnie ujął to słynny matematyk niemiecki David Hilbert pisząc „Nikt nie wypędzi nas z raju, który stworzył dla nas Cantor”.
W tym miejscu dodam od siebie, że właśnie cantorowska teoria zbiorów nieskończonych była tym rajem, który dostrzegłem jeszcze w liceum – to właśnie spowodowało, że zostałem matematykiem.
Wróćmy do liczb naturalnych. Jeśli mają one służyć do określania liczebności zbiorów skończonych rodzi się pytanie, skąd wziąć elementy tych zbiorów? Świat rzeczywisty zapewnia je tylko do pewnego stopnia – ocenia się, że liczba cząstek elementarnych we Wszechświecie jest rzędu 10 do potęgi 80 (jedynka z osiemdziesięcioma zerami) a przecież istnieją większe liczby naturalne. Wspomniany już Kronecker napisał : „Bóg stworzył liczby naturalne, reszta jest dziełem człowieka”. Powstaje więc pytanie, co mieliby zrobić matematycy – ateiści, przestać zajmować się matematyką? W okresie międzywojennym jeden z największych matematyków XX wieku John von Neumann uwolnił ludzkość od tego dylematu, wykazując, że hipoteza Stwórcy jest zbędna, co więcej, że nie musimy zakładać istnienia jakichkolwiek obiektów, które moglibyśmy później liczyć. Von Neumann wykazał, że liczby naturalne można zdefiniować wychodząc z nicości, czyli ze zbioru pustego. W ten sposób J. von Neumann uwolnił matematykę nie tylko od hipotezy Stwórcy, który stworzył liczby naturalne, ale także od konieczności odwoływania się do obiektów świata zewnętrznego, będącego być może – w zależności od światopoglądu słuchacza – wynikiem działania jakiejś siły stwórczej.
Pozostaje oczywiście pytanie: skoro matematyka i jej obiekty istnieją niezależnie od świata zewnętrznego, to dlaczego tak dobrze go opisują? Nie znam odpowiedzi na to pytanie zadowalającej wszystkich , problem jest jednak na tyle ważny, że trzeba szukać choć cząstkowych wyjaśnień. Wiele pojęć matematycznych zostało stworzonych w celu rozwiązania konkretnych problemów, a później okazało się, że pojęcia te są na tyle uniwersalne, że opisują także inne sytuacje, których ich twórcy nie przewidzieli. Drugą próbą wyjaśnienia przystawania matematyki do rzeczywistości może być swoisty darwinizm występujący również w matematyce i fizyce. W trakcie rozwoju tych nauk tworzono wiele pojęć i teorii, przeżywały te, które były najlepiej dostosowane do środowiska – w tym przypadku najlepiej opisywały świat zewnętrzny. Pozostałe są dziś znane wyłącznie garstce historyków nauki.
Ostatni przewrót myślowy, o którym opowiem, dotyczy pojęć prawdy i fałszu. Od czasów Arystotelesa zdania dające się sensownie w jakiejś teorii sformułować można było podzielić na prawdziwe lub fałszywe. Jeszcze w 1900 roku wspomniany już Hilbert przedstawiając na międzynarodowym zjeździe matematyków w Paryżu listę 23 najważniejszych nierozwiązanych problemów matematycznych znanych później jako problemy Hilberta zakończył swój wykład słowami: „Wir mussen wissen. Wir werden wissen!” (Musimy wiedzieć i będziemy wiedzieć!). Hilbert dożył jeszcze czasów, gdy ten optymistyczny pogląd legł w gruzach (zmarł w 1943 roku). W 1931 roku nieznany przedtem młody matematyk austriacki Kurt Gödel udowodnił twierdzenie, które wstrząsnęło logicznymi podstawami matematyki i jest uważane za jedno z najważniejszych odkryć matematycznych XX wieku. Dowiódł on mianowicie, że każda dostatecznie bogata teoria matematyczna jest niezupełna, to znaczy, że można w niej znaleźć takie zdanie, że ani ono ani jego zaprzeczenie nie dają się w tej teorii dowieść. Oznacza to, że w każdej takiej teorii istnieją zdania nierozstrzygalne, czyli trzeci oprócz prawdziwych i fałszywych rodzaj zdań! Jest to treścią słynnego twierdzenia Gödla o niezupełności. Zmiana spojrzenia na matematykę i logikę spowodowana odkryciem Gödla jest porównywalna z przewrotem kopernikańskim w astronomii. Zamiast optymistycznej wypowiedzi Hilberta otrzymaliśmy tezę „Ignoramus et ignorabimus” (Nie wiemy i nie będziemy wiedzieli). Trzeba dodać, że wymaganie określone jako „dostatecznie bogata teoria” zawarte w twierdzeniu Gödla jest dość skromne, oznacza po prostu arytmetykę liczb naturalnych i każdą teorię, która ją zawiera, w sumie dużą część matematyki. Wokół twierdzenia Gödla narosło wiele interpretacji, nieraz trudnych do przyjęcia – zostawiam je filozofom i mistykom. Na pewno jednak zakreśla ono w niespodziewany sposób granice naszego poznania i ograniczenia metody aksjomatycznej.
Ramy czasowe i zmęczenie słuchaczy nie pozwalają mi na przytaczanie dalszych ważnych odkryć. Chciałbym jednak w przyszłości opowiedzieć o kilku z nich, w szczególności o klasyfikacji procesów i zjawisk z uwzględnieniem tzw. cudów. Może będzie mi to kiedyś dane.

Krzysztof S. – Loża Galileusz